Conceptos básicos de la probabilidad
EXPERIMENTO: Es toda acción sobre la cual vamos a
realizar una medición u observación, es decir
cualquier proceso que genera un resultado definido.
EXPERIMENTO ALEATORIO: Es toda actividad cuyos
resultados no se determinan con certeza. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. No podemos determinar con toda certeza ¿cuál será
el resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye un
experimento aleatorio.
ESPACIO MUESTRAL (S).- Es un conjunto de todos
los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un
experimento aleatorio. Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el
espacio muestral correspondiente a este experimento es: S = (1, 2, 3, 4, 5, 6).
PUNTO MUESTRAL.- Es un elemento del espacio muestral de
cualquier experimento dado.
EVENTO O SUCESO.- Es todo subconjunto de un espacio muestral.
Se denotan con letras mayúsculas: A, B, etc. Los resultados que forman parte de
este evento generalmente se conocen como "resultados
favorables". Cada vez que se observa un resultado favorable, se
dice que "ocurrió" un evento. Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar
un dado. Un posible evento podría ser que salga número par. Definimos el evento
de la siguiente manera: A = sale número par = (2, 4, 6(, resultados favorables
n(E) = 3
Los eventos pueden ser:
Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro si se
realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el mar, en condiciones normales,
es seguro que nos mojaremos.
Evento imposible.- Un evento es imposible si
nunca se realiza. Al lanzar un dado una sola vez, es imposible que salga un 10.
Evento probable o aleatorio.- Un evento es aleatorio si
no se puede precisar de antemano el resultado. Ejemplo: ¿Al lanzar un dado,
saldrá el número 3?
PROBABILIDAD.- Es el conjunto de posibilidades de que un
evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos
pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento
que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento
que ocurra con certeza es de 1 (evento cierto).
La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la
posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente
de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente (de
forma matemática).
Probabilidad empírica.- Si E es un evento que puede
ocurrir cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del
evento E, que a veces se le denomina definición de frecuencia relativa
de la probabilidad.
Nota: P(E), se lee probabilidad del evento E
Probabilidad teórica.- Si todos los resultados en
un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese
espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por
la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica
de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su
famosa Teoría analítica de la probabilidad.
POSIBILIDADES.- Las posibilidades comparan el número de
resultados favorables con el número de resultados desfavorables. Si todos los
resultados de un espacio muestral son igualmente probables, y un número n de
ellos son favorables al evento E, y los restantes m son desfavorables a E,
entonces las posibilidades a favor de E sonde de n(E) a m(E),
y lasposibilidades en contra de E son de m(E) a n(E
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.
Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes.
Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde? Solución:
·
Divide la cantidad de formas de elegir una canica
verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
·
68 ÷ 87 = 0.781609
·
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609
redondeado a centésimos es 0.78.
Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
Ejemplo
Probabilidad simple 2
Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Solución:
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
Ejemplo
Probabilidad simple 3
La posibilidad que hay de que ocurra
algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas
verdes, 2 azules y 3 rojas
Solución: obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a
uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Problemas probabilidad
simple 4
Al
lanzar al
aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se
obtenga sello es:
Solución: No importa lo que ocurra en los dos últimos lanzamientos. Es sólo considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
P=cantidad de resultado(s) favorable(s) / cantidad resultados posibles
P=1/2
Se lanzó un dado honesto –no cargado- dos veces, obteniéndose 4 en ambas oportunidades. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se obtenga nuevamente 4?
Solución: Los dos lanzamientos previos ya no son de interés, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la probabilidad de que en un lanzamiento se obtenga 4. Como hay seis resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es:
P=
cantidad de resultado(s) favorable(s) /cantidad resultados posibles
P=1/6
Una persona tira tres veces una moneda y las tresveces obtiene cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta vez obtenga sello?
P=1/6
Una persona tira tres veces una moneda y las tresveces obtiene cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta vez obtenga sello?
Solución:
Los tres primeros lanzamientos ya no son de interés, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la probabilidad de que en un solo lanzamiento se obtenga sello. Como hay dos resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es: 1/2
Se lanzan al aire consecutivamente dos monedas, la probabilidad de que la segunda sea cara es:
Solución:
No se solicita nada de la primera moneda. Por lo que solo hay que remitirse a la segunda moneda. El segundo lanzamiento –como cualquier otro, tiene dos resultados posibles, cara o sello. De los cuáles uno de ellos es favorable a lo pedido. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
P=1/2
13.-Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis
caras numeradas del 1 al 6. La probabilidad de que el número de tres cifras que
se forme, empiece con 4 es:
Solución: Dan lo mismo los resultados del segundo y tercer lanzamiento. Sólo interesa obtener 4 en el primero. Al lanzar el primer dado tenemos un caso favorable a obtener 4 y seis casos posibles, por lo tanto, la probabilidad pedida es:
P=casos favorables/casos totales
P= 1/6
14.-La probabilidad de que al lanzar un da
do se obtenga un número menor que 5 es:
Solución: Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
P= 42/63
Regla de la suma de la probabilidad
Si dos eventos a y b son mutuamente
excluyentes, esta regla indica que la probabilidad que ocurra uno u otro de los
eventos, es igual a la suma de sus probabilidades.
|
Regla de la suma: si dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes, esta regla indica que la probabilidad que ocurra uno u otro de los
eventos, es igual a la suma de sus probabilidades.
P(A ó B) = P(A) + P(B) - P(A y B)Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la
ocurrencia conjunta de los dos eventos, se resta de la suma de las
probabilidades de los eventos.
En la teoría de conjuntos, la ocurrencia conjunta
hace referencia a la intersección, por lo tanto:
P(A y B) = P(A ∩B)
Entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Problemas de la aplicación de las
reglas de la adición de la suma.
Ejemplo 1: Se lanzan un
dado. Usted gana $ 3000 pesos
si el resultado es par ó
divisible por tres ¿Cuál es la
probabilidad de ganar ?
Lo que primero
hacemos es definir los sucesos:
Sea A = resultado
par: A = { 2, 4, 6 }
Sea B = resultado
divisible por 3 : B = { 3, 6 } . Ambos
sucesos tienen intersección
RESULTADO:
RESULTADO:
Ejemplo 2 : Se tiene una baraja
de cartas ( 52 cartas sin jockers), ¿
Cuál es la probabilidad de sacar
una Reina ó un As ?
Sea A = sacar una
reina y sea B = sacar un
as, entonces :
RESULTADO:
RESULTADO:
Sea A = tener
una cuenta de ahorros , B = tener un
CDT.
RESULTADO:
Regla de la multiplicacion de la
probabilidad
RESULTADO:
Regla de la multiplicacion de la
probabilidad
Regla de la Multiplicación En la solución de algunos problemas es
necesario considerar la probabilidad de que ocurra un suceso A en un primer
ensayo y el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Esto se representa con la
expresión P (A y B).P (A y B)= P (Ocurre el suceso A y después ocurre el suceso
B).
Regla de la Multiplicación En la probabilidad P(A o B) se asocia o con
sumar. En éste caso P(A y B), y se asocia con la operación de multiplicación.
Problemas de la Regla de la
multiplicacion de la probabilidad.
1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?
La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro
2. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?
Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos favorables: HHM – HMH – MHH
La probabilidad de cada uno de estos eventos es:
La probabilidad de cada uno de estos eventos es:
3.- Supongamos que se extrae una carta de una baraja de 52 cartas bien barajada. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea o un rey o una figura negra? (Evento no mutuamente excluyente)
Solución: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos
Hay 4 reyes. A = Que la carta sea un rey.
Hay 6 figuras negras B = Que la carta sea una figura negra
P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )
P(A U B)= 4/52 + 6/52 – 2/52 = 8/52= 0.15
4.-Del ejemplo 1 calcular. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una espada o un trébol? (Eventos mutuamente excluyentes)
Solución: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos
Hay 13 espadas. A = Que la carta sea espada.
Hay 13 tréboles. B = Que la carta sea trébol.
P(A U B)= P(A) + P (B)= 13/52 + 13/52 = 26/52
P(A U B)= 0.50
5.-Consideremos un juego el cual debe elegirse una carta de una baraja de 52 cartas. Ganaremos $ 10 si la carta es negra o es un rey. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? (Evento no mutuamente excluyente)
Solución: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos
Hay 26 cartas negras. A = Que la carta sea un rey.
Hay 4 reyes. B = Que la carta sea una negra
P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )
P(A U B)= 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52
Probabilidad condicional
Probabilidad
condicional.Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede
otro evento B. La
probabilidad condicional se escribe P(A|B),
y se lee «la probabilidad deA dado B».
No tiene
por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir
simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener
relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no
pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no
dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Dado un espacio de
probabilidad y
dos eventos (o sucesos) con , la
probabilidad condicional de A dado B está
definida como:
Problemas de la
probabilidad condicional
se presentan los trabajadores de una
industria, clasificacion segun el cargo y el sexo.
___________________________________
Hombres
Mujeres Totales
___________________________________
obreros
80
113
193
Empleados
30
17
47
Directores
4
6
10
----------------------------------------------------
Totales
114
136
250
----------------------------------------------------
El dueño de la empresa desea otorgra
un premio estimulo especial y para ello decide seleccionar al alzar uno de los
trabajadores.
Consideremos los Eventos
A: ser Empleado
B: ser mujer
asumiendo equiprobable en la seccion
de las personas, las probabilidaes A y B son:
P(A)=47250 = 0.188
P(B)= 136250 = 0.544
P(A) es la probabilidad de que sea
empleado, P(B) es la probabilidad de que sea mujer, ahora calcular la
probabilidad de que la persona sea empleada sabiendo que es mujer, P(A/B)=
P(A∩B)P(B) entonces
P(A∩B)= 17250 ahora P(A/B)=17/250136/250 =
0.125
2
ejercicio:
En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A
elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra
persona B elige otro libro al azar
a)¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado
por B sea una novela?
b)Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es
la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?
Solución:
a)
b)
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes parte de una
situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una
serie de sucesos Ai.A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.
Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
Ejercicios de Teorema de Bayes
