3° BLOQUE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES DISCRETAS.

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (x).

Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:
X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA 

DISCRETA (X)

p(xi)<1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.

E p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

EJEMPLO DE VARIABLE DISCRETA

1° Tenemos una moneda que al lanzarla puede dar sólo dos resultados: o cara (50%), o cruz (50%).
La siguiente tabla nos muestra los posibles resultados de lanzar dos veces una moneda:

Se lanza un par de dados. se define la variable aleatoria x como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función x como la suma de las puntuaciones obtenidas.Hallar la función de la probabilidad, la esperanza matemática y la varianza.

2° un jugador lanza un dado corriente. si sale numero primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale numero primo,pierde tantos cientos de euros como marca de dado.

Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

µ =16.667

3° Si una persona compra una paleta en una rifa,en la que puede ganar de cinco euros de 2000 euros con la probabilidad de: 0.001 y 0.003 ¿cual seria el precio justo a pagar por la paleta.

μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

4° Sea X una variable aleatoria discreta cuya 

función de probabilidad es:

Calcular, representar gráficamente la función de distribución

Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

p (X ≥ 3)

p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

p (3 ≤ X < 4.5)

p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.

*Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

*La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.

*En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Donde:

P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del evento

p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)

q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p )

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados

n = número de intentos

PROBLEMAS RESUELTOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

1°La ultima novela  de un autor ha tenido un gran éxito,hasta el punto de que el 80 por ciento de los lectores ya la han leído. un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

+Soluciones:

¿cual es la probabilidad de que en un grupo haya leido la novela 2 personas.

B=4,02  P=0.8   q=0.2

    * y como máximo 2

2° Un agente de seguros vende  pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. según las tablas actuales, .la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o mas es 2 entre. hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años,vivan.  

+ Las cinco personas 

B(5, 2/3) p = 2/3   q = 1/3

+ Amenos 3 personas 

+ Exactamente 2 personas.

3° Se lanza una moneda cuatro veces.Calcular la probabilidad de que salgan mas caras que cruces.

*Soluciones:

B(4, 0.5)   p = 0.5     q = 0.5

En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el cinco por ciento de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10 por ciento de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones   son independientes. Un guardia de trafico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el numero de conductores es suficientemente importante como estimar que la proporción de infractores no varia al hacer la selección.

+ Soluciones:

Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

Determine la probabilidad de que al menos uno de las conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

4° Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 a 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a cinco pacientes a los que aplica la droga. ¿cual es la probabilidad de los siguientes  sucesos.

1°Ningún paciente tenga efectos secundarios. 

B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

2°Al menos dos tenga efectos secundarios.

3° ¿Cual es el numero medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA.

Los experimentos que tiene este tipo de distribución tiene las siguientes  características:

a] Al realizar un experimento con este tipo, de distribución, se esperan dos tipos de resultados. 

b] Las probabilidades asociadas a cada uno de los

resultados no son constantes.

c]Cada ensayo o repetición del

experimento no es independiente de los demás.

d] El numero de repeticiones del experimento n es constante.

En teoría de la probabilidad la distribución Hipergeométrica  es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a.

Donde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.

 Lanotación hace referencia al coeficiente Binomial, es el numero de combinaciones posibles al seleccionar X elementos de un total a. El valor absoluto de una variable x que sigue distribución Hipergeometrica es:

y su varianza:

En la formula anterior, definiendo:

y

Se obtiene:

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

PROBLEMAS

 DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA.

1°Una tienda de artículos eléctricos tiene 20 planchas, cual de las cinco son amarillas.Si se extraen aleatoriamente y sin situación 10 planchas ¿cual es la probabilidad de que 2 de ellas sean  amarillas.

*SOLUCIÓN:

En este caso se tiene una población de 20 planchas N=20, de las cuales son  cinco son amarillas a=cinco y se extrae una muestra de 10 planchas n=10. La variable sera numero de planchas amarillas que hay en la muestra entre las extraídas, por lo que x=2. 

sustituyendo en el modelo de la distribución Hipergeometrica tenemos:

si se extrae 8 canicas sin remplazo de una urna que contiene nueve azules y 3 negras.Encontrar la probabilidad de que haya 6 canicas azules dentro de las 8 que se extrajeron.

*SOLUCIÓN:

En total se tiene 12 canicas N=12, de las cuales nueve son azules a=nueve se extrae una muestra de 8 canicas n=8 y se debe obtener la probabilidad de que la muestra haya 6 canicas azules x=6 por lo que:

3°Una caja contiene 10 focos, de los cuales 3 son defectuosos.¿cual es la probabilidad de que si se toma una muestra aleatoria sin remplazo de tamaño 2, se extraída cuando mucho un foco defectuoso.

*SOLUCIÓN:

Definamos la variable x; Numero de focos defectuosos.Entonces N=10, a=3; n=2 y x=0,1.

4° Un vendedor de insecticidas quiere vender a una planta un lote de cincuenta barriles de por cierto producto.El gerente de la planta sospecha que los barriles están caducos,pero el vendedor sostiene que solo 10 barriles han caducado y están dispuesto a permitir que analicen cinco barriles sin costo para el comprador, para que este decidida si adquiere el lote.¿cual es la probabilidad de que el gerente encuentre 4 o mas de los cinco barriles examinados han caducado y esta dispuesto a permitir que se analicen cinco barriles sin costo para el comprador, para que este decida si adquiere el lote.¿cual es la probabilidad de que el gerente encuentre que 4 o mas de los cinco barriles examinados han caducado, suponiendo que el vendedor tiene razón en su afirmación.

De acuerdo a la información se tiene que N= cincuenta; a=10 y n=cinco. La función de la probabilidad de la variable x, definida por el numero de barriles defectuoso en la muestra es:

POR LA QUE LA PROBABILIDAD BUSCADA ES:

La esperanza matemática de una función g=X esta dada por

Donde f(X) es, respectivamente, la función de probabilidad o la función densidad de probabilidad y g(X) es cualquier función de valores reales que está definida para todos los valores posibles de X. 

        Propiedades de la esperanza matemática.

Esperanza de una función de una variable aleatoria.

Variable discreta.

• Variable continua
  
• Linealidad de la esperanza matemática.
• E(X + Y) = E(X) + E(Y)
• E(k · X) = k · E(X) para todo número real k.
• E(k) = k para todo número real k.
• E(a · X + b) = a · E(X) + b para todo par de números reales a y b.

Esperanza del producto.

E(X · Y) = E(X) · E(Y) únicamente en el caso de que X e Y sean variables aleatorias independientes.

PROBLEMAS DE ESPERANZA MATEMÁTICA.

Dada la experiencia aleatora de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

La función de probabilidad y su representación.

La función de distribución y su representación.

La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

2° Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 

0.75. Hallar la esperanza matemática, la 

varianza y la desviación típica.

μ =2.15

σ² = 6.05 - 2.15² = 1.4275

σ = 1.19

3° Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

μ = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable

4°Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

µ =16.667

TEOREMA DE BAYES 

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

EJERCICIOS DE TEOREMA DE BAYES.

1° Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

2°El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

3°La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.