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Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.
Distribución
aleatoria discreta,
variable aleatoria, comparar una distribución de frecuencias con una de
probabilidad.
Distribución aleatoria: Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros.
Ejemplo de variable aleatoria
Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:
Distribución aleatoria discreta | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Cara superior | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Número de veces | 40 | 39 | 42 | 38 | 42 | 39 |
1. Tabla de distribución de frecuencias
La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos
2. Tabla de distribución de probabilidad
La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados.
3. Gráfica de las distribuciones
En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DISCRETAS.
Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza
x | p i | x · p i | x 2· pi |
---|---|---|---|
2 | 1/36 | 2/36 | 4/36 |
3 | 2/36 | 6/36 | 18/36 |
4 | 3/36 | 12/36 | 48/36 |
5 | 4 /36 | 20/3 6 | 100/36 |
6 | 5/36 | 30/36 | 180/36 |
7 | 6/36 | 42/36 | 294/36 |
8 | 5/36 | 40/36 | 320/36 |
9 | 4 /36 | 36/36 | 324/36 |
10 | 3/36 | 30/36 | 300/36 |
11 | 2/36 | 22/36 | 242/36 |
12 | 1/36 | 12/36 | 144/36 |
7 | 54.83 |
2° Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}
p(+1) = 2/4
p(+2) = 1/4
p(−5) = 1/4
μ = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable.
¿QUE ES LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON ?
· Se observa la realización de hechos de
cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o a lo largo de un espacio de
observación
· Los hechos a observar tienen naturaleza
aleatoria ; pueden producirse o no de una manera no determinística.
· La probabilidad de que se produzcan un
número x de éxitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del
intervalo (Aunque, sí de su amplitud)
· La probabilidad de que ocurra un hecho en
un intervalo infinitésimo es prácticamente proporcional a la amplitud del
intervalo.
· La probabilidad de que se produzcan 2 o
más hechos en un intervalo infinitésimo es un infinitésimo de orden superior a dos.
En consecuencia,
en un intervalo infinitésimo podrán producirse O ó 1 hecho pero nunca más de
uno
· Si en estas circunstancias aleatorizamos
de forma que la variable aleatoria X signifique o designe el "número de
hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio", la
variable X se distribuye con una distribución de parámetro l . Así :
El parámetro de la distribución es, en principio, el factor de
proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitésimo.
Se le suele designar como parámetro de intensidad , aunque más tarde veremos
que se corresponde con el número medio de hechos que cabe esperar que se
produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución); y que también
coincide con la varianza de la distribución.
Por otro lado es evidente que se trata de
un modelo discreto y que el campo de variación de la variable será el conjunto
de los número naturales, incluido el cero:
Las distribución de Poisson parte de la distribución binomial:
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
" p " < 0,10
" p * n " < 10
La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:
" l " = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo)
" k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando.
La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?Otro ejemplo:
Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
Luego,
P (x = 3) = 0,0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%
La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recien nacidos haya 5 pelirrojos?
Luego,
P (x = 5) = 4,602Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recien nacidos es del 4,6%.
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